Senin, 04 September 2017
Contoh Soal dan Pembahasan Aritmatika
1. Suku-suku suatu barisan geometri takhingga yaitu positif, jumlah suku U1+U2 = 45dan U3+U4 = 20, maka berapa jumlah suku-suku dalam barisan tersebut?
diketahui :
* U1 + U2 = 45
→ a + ar = 45
→ a (1+r) = 45 ………….. (1)
* U3 + U4 = 20
→ ar2 + ar3 = 20
→ r2 a(1+r) = 20 ……..(2)
kita substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)
r2 (45) = 20
r2 = 20/45 =4/9
r = 2/3 atau -2/3
alasannya yaitu suku-suku deret geometrinya diketahui konkret maka r = 2/3
kita memilih nilai a
a (1+2/3) =45
a x 5/3 = 45
a = 45 x 3/5
a = 27
dengan dimikian jumlah suku-suku barisan geometri sampai tersebut adalah
S = a/1-r = 27/ (1-2/3) = 27 : 1/3 = 27 x 3 = 81
* U1 + U2 = 45
→ a + ar = 45
→ a (1+r) = 45 ………….. (1)
* U3 + U4 = 20
→ ar2 + ar3 = 20
→ r2 a(1+r) = 20 ……..(2)
kita substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)
r2 (45) = 20
r2 = 20/45 =4/9
r = 2/3 atau -2/3
alasannya yaitu suku-suku deret geometrinya diketahui konkret maka r = 2/3
kita memilih nilai a
a (1+2/3) =45
a x 5/3 = 45
a = 45 x 3/5
a = 27
dengan dimikian jumlah suku-suku barisan geometri sampai tersebut adalah
S = a/1-r = 27/ (1-2/3) = 27 : 1/3 = 27 x 3 = 81
2. Jika jumlah takhingga deret a + a0 + a-1 + a-2 + a-3 + … yaitu 4a, maka nilai a adalah
deret dalam soal di atas yaitu deret geometri dengan
suku pertama (a) = a
r = 1/a dan S = 4a kita masukkan ke rumus
S = a/[1-r] 4a = a/[1-1/a] 4a = a2/[a-1] 4a [a-1] = a2
4a2 – 4a = a2 (masing-masing ruas di kali 1/a)
4a – 4 = a
3a = 4
a = 4/
deret dalam soal di atas yaitu deret geometri dengan
suku pertama (a) = a
r = 1/a dan S = 4a kita masukkan ke rumus
S = a/[1-r] 4a = a/[1-1/a] 4a = a2/[a-1] 4a [a-1] = a2
4a2 – 4a = a2 (masing-masing ruas di kali 1/a)
4a – 4 = a
3a = 4
a = 4/
3. hitung punya tiga buah bilangan. Tiga buah bilangan tersebut berurutan yang berjumlah 12 dan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika bilangan yang ketiga ditambah 2, maka diperoleh deret geometri. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah?
deret aritmatika : U1 + U2 + U3 = 12
misalkan U1 = a-b ; U2 = a ; U3 = a+b
U1 + U2 + U3 = 12
a-b + a + a+b = 12
3a = 12 maka kita sanggup 4
lalu deret geometri
a-b, a, a+b+2 merupakan deret geometri
4-b, 4, 6+brasio = rasio
4/4-b = 6 + b/4 (kita kali silang)
4 x 4 = (4-b) (6+b)
16 = 24-2b-b2
b2+2b+16-24 = 0
b2+2b-8 =0
(b+4) (b-2) = 0
b = -4 atau b = -2
untuk b = -4 maka bilangan dalamb barisan aritmatika tersebut yaitu 8,4,0
hasil kalinya = 0
untuk b = 2 maka bilangan dalam barisan aritmatika tersebut yaitu 2,4,6
hasil kalinya = 48
misalkan U1 = a-b ; U2 = a ; U3 = a+b
U1 + U2 + U3 = 12
a-b + a + a+b = 12
3a = 12 maka kita sanggup 4
lalu deret geometri
a-b, a, a+b+2 merupakan deret geometri
4-b, 4, 6+brasio = rasio
4/4-b = 6 + b/4 (kita kali silang)
4 x 4 = (4-b) (6+b)
16 = 24-2b-b2
b2+2b+16-24 = 0
b2+2b-8 =0
(b+4) (b-2) = 0
b = -4 atau b = -2
untuk b = -4 maka bilangan dalamb barisan aritmatika tersebut yaitu 8,4,0
hasil kalinya = 0
untuk b = 2 maka bilangan dalam barisan aritmatika tersebut yaitu 2,4,6
hasil kalinya = 48
4. Dari sebuah deret aritmetika diketahui bahwa jumlah suku ke-4 dan suku ke-7 yaitu 81. Jika deret tersebut mempunyai beda 5, tentukan suku pertama deret tersebut!
Data:
U4 + U7 = 81
U4 = a + 3b dan U7 = a + 6b sehingga
U4 + U7 = (a + 3b) + (a + 6b)
U4 + U7 = 2a + 9b
81 = 2a + 9b
81 = 2a + 9(5)
81 = 2a + 45
2a = 81 − 45
2a = 36
a = 18
U1 = a = 18
Data:
U4 + U7 = 81
U4 = a + 3b dan U7 = a + 6b sehingga
U4 + U7 = (a + 3b) + (a + 6b)
U4 + U7 = 2a + 9b
81 = 2a + 9b
81 = 2a + 9(5)
81 = 2a + 45
2a = 81 − 45
2a = 36
a = 18
U1 = a = 18
5. Dari barisan aritmetika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34. (28). Hitunglah jumlah 18 suku pertama deret aritmetika tersebut!
Rumus:
Un = a + (n − 1)b
Maka,
U7 = a + (7 − 1)b
22 = a + 6b => a = 22 – 6b
U11 = a + (11 − 1)b
34 = a + 10b
34 = 22 – 6b + 10b
34 = 22 + 4b
12 = 4b
b = 3
a = 22 – 6b
a = 22 – 18
a = 4
Jumlah dari deret aritmatika sanggup ditulis:
Sn = (n/2)(2a + (n – 1) b)
S18 = (18/2)(2.4 + (18 – 1)3)
S18 = 9.(8 + 51)
S18 = 531
6. Rumus suku ke-n suatu barisan Un = 2n – n2. Hitunglah jumlah suku ke-10 dan ke-11 barisan tersebut!
Un = 2n – n2
Maka,
U10 = 2.10 – (10)2
U10 = 20 – 100
U10 = – 80
U11 = 2.11 – (11)2
U11 = 22 – 121
U11 = – 99
U10 + U11 = – 80 + (– 99)
U10 + U11 = – 179
7. Diketahui deret aritmatika U2+U3=12 dan U7=15. Maka jumlah 5 suku pertamanya adalah….
U2 + U3 = 12 ==== 2a + 3b = 12 x 1 2a + 3b = 12
U7 =15 ======== a + 6b = 15 x 2 2a + 12b= 30 _
-9b = -18
b = 2
a + 6b = 15
a + 12 =15
a =3
Sn = n/2 { 2a + (n-1)b}
S5 = 5/2{ 2 . 3 + (5-1)2}
= 5/2 { 6 + 8 }
= 5/2 {14}
= 35
8. Diketahui deret aritmatika dengan rumus Sn = 2n^2 + 3n. Beda deret aritmatika tersebut adalah...
a. 3
b. 4
c. 5
d. 9
Pembahasan:
Beda sanggup dicari dengan mengurangkan jumlah 2 suku (S2) dengan jumlah 1 suku (S1)
Sn = 2n^2 + 3n
S2 = 2.2^2 + 3.2
= 2.4 + 6
= 8 + 6
= 14
Sn = 2n^2 + 3n
S1 = 2.1^2 + 3.1
= 2.1 + 3
= 2 + 3
= 5
beda = b = S2-S1
= 14 - 5
= 9 (pilihan d)
a. 3
b. 4
c. 5
d. 9
Pembahasan:
Beda sanggup dicari dengan mengurangkan jumlah 2 suku (S2) dengan jumlah 1 suku (S1)
Sn = 2n^2 + 3n
S2 = 2.2^2 + 3.2
= 2.4 + 6
= 8 + 6
= 14
Sn = 2n^2 + 3n
S1 = 2.1^2 + 3.1
= 2.1 + 3
= 2 + 3
= 5
beda = b = S2-S1
= 14 - 5
= 9 (pilihan d)
9. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34. Jumlah 18 suku pertama adalah...
a. 531
b. 666
c. 1.062
d. 1.332
Pembahasan:
U7 = 22
a + (7-1)b = 22
a + 6b = 22 ...... (persamaan pertama)
U11 = 34
a + (11-1)b = 34
a + 10b = 34 .... (persamaan dua)
Selanjutnya persamaan satu dan persamaan dua kita kurangkan:
a. 531
b. 666
c. 1.062
d. 1.332
Pembahasan:
U7 = 22
a + (7-1)b = 22
a + 6b = 22 ...... (persamaan pertama)
U11 = 34
a + (11-1)b = 34
a + 10b = 34 .... (persamaan dua)
Selanjutnya persamaan satu dan persamaan dua kita kurangkan:
Lalu kita ambil persamaan pertama untuk mencari nilai a:
a + 6b = 22 (kita ganti b dengan 3, alasannya yaitu hasil b = 3)
a + 6(3) = 22
a + 18 = 22
a = 22-18
a = 4
Selanjutnya kita masukkan a = 4 dan b = 3 pada rumus jumlah suku atau Sn untuk mencari jumlah 18 suku pertama:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S18 = 18/2 (2.4 + (18-1)3)
= 9 (8 + 17.3)
= 9 (8 + 51)
= 9. 59
= 531 (pilihan a)
a + 6b = 22 (kita ganti b dengan 3, alasannya yaitu hasil b = 3)
a + 6(3) = 22
a + 18 = 22
a = 22-18
a = 4
Selanjutnya kita masukkan a = 4 dan b = 3 pada rumus jumlah suku atau Sn untuk mencari jumlah 18 suku pertama:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S18 = 18/2 (2.4 + (18-1)3)
= 9 (8 + 17.3)
= 9 (8 + 51)
= 9. 59
= 531 (pilihan a)
10. Diketahui deret aritmatika 17, 20, 23, 26, ... Jumlah tiga puluh suku pertama deret tersebut adalah...
a. 1.815
b. 2.520
c. 2.310
d. 2.550
Pembahasan:
suku pertama = a = 17
Beda = b = U2-U1 = 20-17 = 3
Jumlah 30 suku pertama = S30
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S30 = 30/2 (2.17 + (30-1)3)
= 15 (34 + 29.3)
= 15 (34 + 87)
= 15.121
= 1.815 (pilihan a)
a. 1.815
b. 2.520
c. 2.310
d. 2.550
Pembahasan:
suku pertama = a = 17
Beda = b = U2-U1 = 20-17 = 3
Jumlah 30 suku pertama = S30
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S30 = 30/2 (2.17 + (30-1)3)
= 15 (34 + 29.3)
= 15 (34 + 87)
= 15.121
= 1.815 (pilihan a)
Share This :
comment 0 Comment
more_vert